Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2015

 

1.   a)   Calcula  los  posibles  valores  de  a, b, c  para  que  la matriz    verifique la relación    siendo I la matriz identidad de orden 2 y 0 la matriz nula de orden 2.

b)   ¿Cuál es la solución de un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas, si la matriz de coeficientes es una matriz    verificando la relación  ?

c)    Para    ,   calcula   la   matriz   X   que   verifica    ,   siendo  .

 

a)    Vamos a calcular la matriz :

Ahora calculamos la matriz  :

Igualamos esta matriz a la matriz nula y calculamos los valores pedidos:

Para los valores de a y c calculados la segunda ecuación se cumple siempre, independientemente del valor de b. Por lo tanto las soluciones serían:

 

b)   El sistema homogéneo, en forma matricial sería:

Por lo tanto, operando obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Como sabemos los valores de a, b y c si cumple la relación  , el sistema nos quedaría:

Resolvemos y vemos que es compatible determinado y que la solución es la trivial:

 

El sistema sería compatible determinado y, al ser homogéneo, tendría la solución trivial.

 

c)    Primero vamos a despejar la matriz X de la ecuación, multiplicando por la matriz inversa de A en los dos miembros de la ecuación:

Ahora calculamos la matriz inversa de A:

Ahora calculamos el cuadrado de la matriz inversa:

Y por último calculamos la matriz que nos piden: