Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2014

OPCIÓN A

 

1.     

a)   Define menor complementario y adjunto de un elemento en una matriz cuadrada.

b)   Sea I la matriz identidad de orden 3 y  , determina los valores de    para los que    no tiene inversa.

c)    Calcula la matriz X que verifica  , siendo A la matriz dada en el apartado b).

 

a)    Se llama menor complementario de un elemento a_ij de una matriz de orden n, al valor del determinante de orden  que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Se designa por M_ij.

Se llama adjunto del elemento a_ij, al menor complementario anteponiendo:

El signo + si i+j es par.

El signo  si i+j es impar.

 

b)   Calculamos la matriz  :

 

 

Una matriz cuadrada no tiene inversa cuando su determinante vale cero. Vamos, por lo tanto, a calcular su determinante:

 

 

Igualamos el determinante a cero para saber para qué valores de    no tiene inversa:

 

 

La matriz    no tiene inversa para    y  .

 

c)    Primero, vamos a despejar X en la ecuación:

 

 

 

 

Para calcular  , aprovechamos lo que tenemos calculado en el apartado anterior. Substituimos    y tenemos la matriz y el determinante:

 

 

Ahora vamos a calcular la matriz adjunta:

 

 

Calculamos la traspuesta:

La inversa sería:

 

Multiplicamos la inversa por la matriz A y tenemos la matriz pedida: