Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2014
OPCIÓN A |
b) ¿Coincide A con su inversa para algún valor de m?.
c) Determina una matriz simétrica X de orden 2 tal que y el determinante de la matriz 3X sea .
a) Vamos a calcular el rango de la matriz por determinantes. Empezamos calculando el determinante de orden 3 y vemos para qué valor de m se anula:
Discutimos en función de los valores de m:
· Si , el determinante de orden 3 es distinto de cero, por lo tanto el rango es 3.
· Si , el rango es 2, porque hay algún determinante de orden 2 distinto de cero.
· Si , el rango es 2, porque hay algún determinante de ese orden distinto de cero:
b) Si A coincide con su inversa, sabemos:
Calculamos entonces el cuadrado de la matriz A y vemos si puede ser igual a la matriz identidad, para algún valor de m:
Por lo tanto, para que la matriz A coincidiera con su inversa, se debería cumplir:
Vemos que esta igualdad no se puede cumplir, porque por ejemplo, el primer elemento de la primera matriz nunca puede ser igual al primero de la segunda:
No hay ningún valor de m que haga que la matriz coincida con su inversa.
c) Una matriz simétrica es aquella que coincide con su traspuesta, por ejemplo: .
Aplicando entonces la primera condición:
De la segunda condición sacamos otra ecuación:
Al final tenemos un sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Por lo tanto, la matriz pedida es: